Основное правило:

• Правильная форма — только «auquel cas» (или «auxquels cas» во множественном числе).
• «Au quel cas» с раздельным написанием не существует в грамматически корректном французском языке.

---

Что такое «auquel cas»?

«Auquel cas» — это сочетание, состоящее из:

• «auquel»: предлог «à» + местоимение «lequel» (или «auxquels» для множественного числа).
• «cas»: существительное, означающее «случай».

Эта конструкция выполняет роль союзной конструкции и связывает причину с её следствием. Она может быть заменена на выражения вроде «en ce cas» или «les choses étant ainsi».

Примеры:

1. «Nous irons sans doute à la plage, auquel cas il faudra prévoir des maillots de bain.»
   (Мы, вероятно, пойдём на пляж, в таком случае нужно будет взять купальники.)

2. «Tu devrais lui demander si elle est d’accord, auquel cas on pourra faire la fête sereinement.»
   (Тебе стоит спросить её согласие, в таком случае мы сможем спокойно устроить праздник.)

---

Как использовать во множественном числе?

Если речь идёт о нескольких возможных случаях, используется форма «auxquels cas».

Примеры:

1. «Il se peut que le directeur ou le conseil s’opposent, auxquels cas nous devrons y renoncer.»
   (Возможно, директор или совет выступят против, в таком случае нам придётся отказаться.)

2. «La météo annonce de la pluie ou de la grêle, auxquels cas nos projets tomberont à l’eau.»
   (Прогноз обещает дождь или град, в таком случае наши планы сорвутся.)