Courir après qqn, qqch. Cette construction est très normale ; on emploie plus rarement s'élancer.. sauter, bondir après qqn :

Le chien s'élance après le facteur.

 

La construction Il lui a couru après est familière ; dans l'usage soigné, on dit plutôt : Il a couru après lui.

Attendre après qqn, qqch est de l'usage courant pour exprimer le besoin de quelqu'un ou de quelque chose, l'impatience de l'attente:

Dépêche-toi, on attend après nous depuis une heure. Il n'attend pas après cet argent pour vivre.

Demander, réclamer après qqn, chercher après qqn, qqch sont des constructions plus familières que demander, réclamer, chercher qqn, qqch :

Personne n'a demandé après moi en mon absence ? - Personne ne vous a demandé. Je cherche après Titine. Il cherche après ses lunettes. Il cherche ses lunettes.

Après indiquant l'hostilité. Crier après qqn, qqch est plus familier que crier contre ou sur qqn, qqch : Il crie après (contre, sur) ses gosses toute la journée.

Il passe son temps à rouspéter après l’Administration.

On dit être furieux, en colère après (fam.) ou contre qqn, s'acharner après (ou contre, sur) qqn, qqch. On dit être, se mettre après (ou contre) :

Ils se sont tous mis après lui en lui reprochant son insouciance.

Après indiquant le contact, la fixation.

Après, dans ces emplois, est en général d'un usage plus familier que à ou sur :

Il a grimpé après (à, sur) un arbre. La clef est après (sur) la porte. Accrocher son imperméable après (à) un portemanteau. Avoir de la boue après (à, sur) ses chaussures.

Être après qqch = y travailler, s'en occuper. Cette construction est courante, sans marque particulière de familiarité :

Il est après son moteur depuis ce matin.

Après que + indic. Dans l'usage le plus traditionnel, après que introduit un verbe à un temps composé de l'indicatif ou du conditionnel.

Pour l'indicatif, c'est le plus souvent le passé antérieur ou le futur antérieur :

Après qu'ils eurent fait cette déclaration, ils se retirèrent. Je m'occuperai de cette affaire après qu'on aura réglé l'autre.

Le passé surcomposé peut se substituer au passé antérieur :

Après qu'ils ont eu fait cette déclaration, ils se sont retirés.

Le passé composé ou le plus-que-parfait s'emploient surtout pour exprimer la répétition, le fait habituel, général :

Après qu'on a mis la plante en terre, il faut l'arroser.   Après que le gardien avait fait sa ronde, le prisonnier se remettait à creuser.

Le conditionnel passé s’emploie dans les phrases exprimant une hypothèse : Après que vous auriez donné votre démission, il serait trop tard pour changer d'avis.

Après que + subj. Le subjonctif passé ou plus-que-parfait avec après que s'est largement répandu :

Après qu'on ait tout essayé, il a fallu en venir à cette solution. Je ne repartirai qu'après que vous m'ayez donné votre réponse. Toutefois, l'emploi de l'indicatif est la marque d'un usage plus surveillé : Après qu'on eut tout essayé... après que vous m'aurez donné...

La présence ou l'absence d'un accent circonflexe distingue seule, dans l'écriture, le subjonctif plus-que-parfait de l'indicatif passé antérieur à la 3e personne du singulier : après qu'il eut compris, qu'ils eurent compris (usage traditionnel) ; après qu'il eût compris, qu'ils eussent compris (usage récent souvent critiqué).

Après + infin. Quand les sujets de la principale et de la proposition introduite par après que désignent le même être ou la même chose, il est en général plus commode d'employer après et l'infinitif composé : Après avoir fait cette déclaration, ils se retirèrent. Après avoir mis la plante en terre, il faut l'arroser (on a mis, on arrose).